Question

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，2），B（-2，n）两点，过A作AC⊥x轴于C，连接BC．
（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若坐标平面中有一点D，使△ABD是等腰直角三角形，请直接写出所有D点坐标（不用过程）．

Answer

（1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，然后把x=-2代入即可求得B的坐标，利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）利用三角形的面积公式即可直接求解；
（3）分AB是斜边、AB是直角边A是直角顶点，以及AB是直角边B是直角顶点，三种情况进行讨论，即可求解．
【解析】
（1）把A（1，2）代y=得 m=2，
所以反比例函数为y=，
当x=-2时，y==-1，则B的坐标是（-2，-1）．
设一次函数的解析式是y=kx+b，
则，
解得：，
故一次函数的解析式是：y=x+1；

（2）作BD⊥AC于E．则AC=2，BE=3，AE=3．
∴S△ABC=AC•BE=×2×3=3；

（3）∵AE=BE，
∴当D是E点时，△ABD是等腰直角三角形，此时AB是斜边，
当AB是斜边时，另一个满足条件的点的坐标是（-2，2）；
当AB是直角边，B是直角顶点时，设BD的解析式是y=-x+c，
则-1=2+c，
解得：c=-3，则直线的解析式是y=-x-3．
设D的坐标是（m，-m-3），
则（m+2）2+（-m-3+1）2=（3）2，
解得：m=-5或1．
则D的坐标是（-5，2）或（1，-4）；
同理，当AB是直角边，A是直角顶点时D的坐标是：（4，-1）或（-2，5）．
总之，D的坐标是：（1，-1）或（-2，2）或（-5，2）或（1，-4）或（4，-1）或（-2，5）．