Question

如图1，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图2所示），若AB=2，AD=2，求线段BC和EG的长．

Answer

（1）连接OE，OC，即可证明△OEC≌△OEC，根据DE与⊙O相切于点E得到OEC=90°，从而证得∠OBC=90°，则BC是圆的切线．
（2）先求线段BC的长，过D作DF⊥BG于F，则四边形ABFD是矩形，有DF=AB=2，在Rt△DCF中，由切线长定理知AD=DE、CE=BC，那么CD=CE+2，CF=CE-2，利用勾股定理可求得CE的长；△ADE中，由于AD=DE，可得到∠DAE=∠AED=∠CEG，而AD∥BG，根据平行线的内错角相等得到∠G=∠EAD=∠CEG，由此可证得CE=CG=CB，即可求得BG的长；
在Rt△ABG中，利用勾股定理可求得AG的值，易证△ADE∽△GCE，根据相似三角形的相似比，可求得AE、EG的比例关系，联立AG的长，即可得到EG的值．
（1）证明：连接OE，OC；（1分）
∵CB=CE，OB=OE，OC=OC
∴△OEC≌△OBC（SSS）
∴∠OBC=∠OEC （2分）
又∵DE与⊙O相切于点E
∴∠OEC=90° （3分）
∴∠OBC=90°
∴BC为⊙O的切线．（4分）

（2）【解析】
过点D作DF⊥BC于点F，
∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B
∴DA=DE，CE=CB，
设BC为x，则CF=x-2，DC=x+2，
在Rt△DFC中，，
解得：；（6分）
∵AD∥BG，
∴∠DAE=∠EGC，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠AED；
∵∠AED=∠CEG，
∴∠EGC=∠CEG，
∴CG=CE=CB=，（7分）
∴BG=5，
∴AG=；（8分）
解法一：连接BE，，
∴，
∴，（9分）
在Rt△BEG中，
，（10分）
解法二：∵∠DAE=∠EGC，∠AED=∠CEG，
∴△ADE∽△GCE，（9分）
∴，
=，
解得：．（10分）