Question

在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，点D、E分别在AB、AC上，且DE将△ABC的周长分成相等的两部分．设AE=x，AD=y，△ADE的面积为S．
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求出S关于x的函数关系式；试判断S是否有最大值，若有，则求出其最大值，并指出此时△ADE的形状；若没有，请说明理由．

Answer

（1）根据DE平分三角形ABC的周长，可得出的条件是AD+AE=BD+BC+CE，可先用x、y表示出CE、BD的长，然后根据上面得出的等量关系来求出yx的函数关系式．然后根据CE、AE的长均不为负数来求出x的取值范围．
（2）求三角形ADE的面积，需要知道底边和高的长，已知了底边AE=x，关键是求出底边AE上的高，过D作DF⊥AE于F，可在直角三角形ADF中，根据∠A的正弦值，用AD的长表示出DF的值．然后根据三角形的面积公式可得出关于S、x、y的函数关系式，将（1）得出的关于x，y的函数关系式代入刚刚得出的函数式中即可得出关于S、x的函数关系式．
然后可根据函数的性质得出S的最大值以及对应的x的取值，有了x的值，即可通过此时AE、AD的长来判断出三角形ADE的形状．
【解析】
（1）∵DE平分△ABC的周长，
∴AD+AE==12，即y+x=12，
∴y关于x的函数关系式为：y=12-x（2≤x≤6）．

（2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵62+82=102，即AC2+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°
∴sin∠A=，即
∴DF=
∴S=•AE•DF=•x•=-x2+x
=-（x-6）2+，
故当x=6时，S取得最大值，
此时，y=12-6=6，即AE=AD．
因此，△ADE是等腰三角形．