Question

如图：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长，与BC相交于点E．
（1）若BC=，CD=1，求⊙O的半径；
（2）取BE的中点F，连接DF，求证：DF是⊙O的切线．

Answer

（1）先设⊙O的半径为r，由于AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，根据切线性质可知AB⊥BC，在Rt△OBC中，利用勾股定理可得（r+1）2=r2+（）2，解得r=1；
（2）连接OF，由于OA=OB，BF=EF，可知OF是△BAE的中位线，那么OF∥AE，于是∠A=∠2，根据三角形外角性质可得
∠BOD=2∠A，易证∠1=∠2，而OD=OB，OF=OF，利用SAS可证△OBF≌△ODF，那么∠ODF=∠OBF=90°，于是OD⊥DF，
从而可证FD是⊙O的切线．
【解析】
（1）设⊙O的半径为r，
∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
在Rt△OBC中，∵OC2=OB2+CB2，
∴（r+1）2=r2+（）2，
解得r=1，
∴⊙O的半径为1；                    
（2）连接OF，
∵OA=OB，BF=EF，
∴OF是△BAE的中位线，
∴OF∥AE，
∴∠A=∠2，
又∵∠BOD=2∠A，
∴∠1=∠2，
在△OBF和△ODF中，

∴△OBF≌△ODF，
∴∠ODF=∠OBF=90°，
即OD⊥DF，
∴FD是⊙O的切线．