Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB=6，AC=4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD．
（1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；
（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB=，求PA的长．

Answer

（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；
（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．
【解析】
（1）当BD=AC=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形．
∵P是优弧BAC的中点，
∴弧PB=弧PC．
∴PB=PC．
又∵∠PBD=∠PCA（圆周角定理），
∴当BD=AC=4，△PBD≌△PCA．
∴PA=PD，即△PAD是以AD为底边的等腰三角形．

（2）过点P作PE⊥AD于E，

由（1）可知，
当BD=4时，PD=PA，AD=AB-BD=6-4=2，
则AE=AD=1．
∵∠PCB=∠PAD，
∴cos∠PAD=cos∠PCB=，
∴PA=．