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在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BD是⊙O的直径,弦DE与AC交于点E,且B...

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BD是⊙O的直径,弦DE与AC交于点E,且BD=BF.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若BC=6,AD=4,求⊙O的面积.

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(1)连接OE,由OD=OE,BD=BF,易证得∠OED=∠F,即可得OE∥BC,又由在Rt△ABC中,∠ACB=90°,即可得AC是⊙O的切线; (2)首先设半径为x,易得△AOE∽△ABC,由相似三角形的对应边成比例,即可求得半径,继而求得答案. (1)证明:连接OE, ∵BD=BF, ∴∠BDF=∠F, ∵OD=OE, ∴∠BDF=∠OED, ∴∠ODE=∠F, ∴OE∥BC, ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∴∠OEA=90°, 即OE⊥AC, ∴AC是⊙O的切线; (2)设半径为x, ∵OE∥BC, ∴△AOE∽△ABC, ∴, ∵BC=6,AD=4, ∴AO=4+x,AB=4+2x, ∴, 解得:x=4或x=-3(舍去). ∴⊙O的面积为:16π.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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