Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=-x+m经过点C，交x轴于点D．
（1）求m的值；
（2）点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与0，B两点重合），过点P作x轴的平行线，分别交AB，OC，DC于点E，F，G，设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH=∠ABO，求此时t的值及点H的坐标．

Answer

（1）方法一：先根据直线y=2x+4求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据平行四边形的对边相等求出BC的长度，过点C作CK⊥x轴于K，从而得到四边形BOKC是矩形，根据矩形的对边相等求出KC的长度，从而得到点C的坐标，然后把点C的坐标代入直线即可求出m的值；
方法二：先根据直线y=2x+4求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，在延长DC交y轴于点N，根据直线y=-x+m求出D、N的坐标，并得到OD=ON，从而得到∠ODN=∠OND=45°，再根据平行四边形的对边相得到BC=OA=2，根据对边平行得到BC∥AO，然后再求出BN=BC=2，求出ON的长度，即为直线y=-x+m的m的值；
（2）方法一：延长DC交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形，再利用∠BAO的正切值求出AR的长度，利用∠ODN的正切值求出DQ的长度，再利用AD的长度减去AR的长度，再减去DQ的长度，计算即可得解；
方法二：利用直线AB的解析式求出点E的横坐标，利用直线CD的解析式求出点G的横坐标，用点G的横坐标减去点E的横坐标，计算即可得解；
（3）方法一：根据平行四边形的对边平行可得AB∥OC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠ABO=∠BOC，用t表示出BP，再根据∠ABO与∠BOC的正切值相等列式求出EP的长度，再表示出PG的长度，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠OMC=90°，根据直角推出∠BGP=∠BOC，再利用∠BGP与∠BOC的正切值相等列式求解即可得到t的值；先根据加的关系求出∠OBF=∠FBH，再判定△BHF和△BFO相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，再根据t=2求出OP=2，PF=1，BP=2，利用勾股定理求出BF的长度，代入数据进行计算即可求出BH的值，然后求出HO的值，从而得到点H的坐标；
方法二：同方法一求出t=2，然后求出OP=2，BP=2，再求出PF=1，根据勾股定理求出OF与BF的长度相等，都等于，根据等边对等角的性质可得∠OBF=∠BOC=∠BFH=∠ABO，再根据等角对等边的性质可得BH=HF，然后过点H作HT⊥BF于点T，利用∠OBF的余弦求解得到BH，然后求出HO的值，从而得到点H的坐标；
方法三：先由勾股定理求出AB的长度，然后用t表示出BP，再根据∠ABO的余弦列式求出BE的长度，根据直径所对的圆周角是直角可得∠OMG=90°，然后根据同角的余角相等可得∠ABO=∠BGE，再根据∠ABO和∠BGE的正弦值相等列式求解即可得到t=2，下边求解与方法一相同．
（1）【解析】
方法一：如图1，∵y=2x+4交x轴和y轴于A，B，
∴A（-2，0）B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC=OA=2 过点C作CK⊥x轴于K，
则四边形BOKC是矩形，
∴OK=BC=2，CK=OB=4，
∴C（2，4）代入y=-x+m得，4=-2+m，
∴m=6；

方法二，如图2，∵y=2x+4交x轴和y轴于A，B，
∴A（-2，0）B（0，4），
∴OA=2 OB=4，
延长DC交y轴于点N，
∵y=-x+m交x轴和y轴于点D，N，
∴D（m，0）N（0，m），
∴OD=ON，
∴∠ODN=∠OND=45°，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC∥AO，BC=OA=2，
∴∠NCB=∠ODN=∠OND=45°，
∴NB=BC=2，
∴ON=NB+OB=2+4=6，
∴m=6；

（2）【解析】
方法一，如图3，延长DC交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形，
∴ER=PO=GQ=t，
∵tan∠BAO==，
∴=，
∴AR=t，
∵y=-x+6交x轴和y轴于D，N，
∴OD=ON=6，
∴∠ODN=45°，
∵tan∠ODN=，
∴DQ=t，
又∵AD=AO+OD=2+6=8，
∴EG=RQ=8-t-t=8-t，
∴d=-t+8（0＜t＜4）；

方法二，如图4，∵EG∥AD，P（O，t），
∴设E（x1，t），G（x2，t），
把E（x1，t）代入y=2x+4得t=2x1+4，
∴x1=-2，
把G（x2，t）代入y=-x+6得t=-x2+6，
∴x2=6-t，
∴d=EG=x2-x1=（6-t）-（-2）=8-t，
即d=-t+8（0＜t＜4）；

（3）【解析】
方法一，如图5，∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴∠ABO=∠BOC，
∵BP=4-t，
∴tan∠AB0==tan∠BOC=，
∴EP=2-，
∴PG=d-EP=6-t，
∵以OG为直径的圆经过点M，
∴∠OMG=90°，∠MFG=∠PFO，
∴∠BGP=∠BOC，
∴tan∠BGP==tan∠BOC=，
∴=，
解得t=2，
∵∠BFH=∠ABO=∠BOC，∠OBF=∠FBH，
∴△BHF∽△BFO，
∴=，
即BF2=BH•BO，
∵OP=2，
∴PF=1，BP=2，
∴BF==，
∴5=BH×4，
∴BH=，
∴HO=4-=，
∴H（0，）；

方法二，如图6，∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴∠ABO=∠BOC，
∵BP=4-t，
∴tan∠AB0==tan∠BOC=，
∴EP=2-，
∴PG=d-EP=6-t，
∵以OG为直径的圆经过点M，
∴∠OMG=90°，∠MFG=∠PFO，
∴∠BGP=∠BOC，
∴tan∠BGP==tan∠BOC=，
∴=，
解得t=2，
∴OP=2，BP=4-t=2，
∴PF=1，
∴OF===BF，
∴∠OBF=∠BOC=∠BFH=∠ABO，
∴BH=HF，
过点H作HT⊥BF于点T，
∴BT=BF=，
∴BH===，
∴OH=4-=，
∴H（0，）；

方法三，如图7，∵OA=2，OB=4，
∴由勾股定理得，AB=2，
∵P（O，t），
∴BP=4-t，
∵cos∠ABO====，
∴BE=（4-t），
∵以OG为直径的圆经过点M，
∴∠OMG=90°，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴∠ABG=∠OMG=90°=∠BPG，
∴∠ABO+∠BEG=90°，∠BGE+∠BEG=90°，
∴∠ABO=∠BGE，
∴sin∠ABO=sin∠BGE，
∴==，
即=，
∴t=2，
∵∠BFH=∠ABO=BOC，∠OBF=∠FBH，
∴△BHF∽△BFO，
∴=，
即BF2=BH•BO，
∵OP=2，
∴PF=1，BP=2，
∴BF==，
∴5=BH×4，
∴BH=，
∴OH=4-=，
∴H（0，）．