Question

如图，抛物线y=x²-x-9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

Answer

（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，进而确定AB、OC的长．
（2）直线l∥BC，可得出△AED、△ABC相似，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题干条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围．
（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE、m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值；
②过E做BC的垂线EM，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解．
【解析】
（1）已知：抛物线y=x2-x-9；
当x=0时，y=-9，则：C（0，-9）；
当y=0时，x2-x-9=0，得：x1=-3，x2=6，则：A（-3，0）、B（6，0）；
∴AB=9，OC=9．

（2）∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴=（）2，即：=（）2，得：s=m2（0＜m＜9）．

（3）解法一：∵S△ACE=AE•OC=m×9=m，
∴S△CDE=S△ACE-S△ADE=m-m2=-（m-）2+．
∵0＜m＜9，
∴当m=时，S△CDE取得最大值，最大值为．此时，BE=AB-AE=9-=．
记⊙E与BC相切于点M，连接EM，则EM⊥BC，设⊙E的半径为r．
在Rt△BOC中，BC===3．
∵∠OBC=∠MBE，∠COB=∠EMB=90°．
∴△BOC∽△BME，
∴=，
∴=，
∴r==．
∴所求⊙E的面积为：π（）2=π．
解法二：∵S△AEC=AE•OC=m×9=m，
∴S△CDE=S△AEC-S△ADE=m-m2=-（m-）2+．
∵0＜m＜9，
∴当m=时，S△CDE取得最大值，最大值为．此时，BE=AB-AE=9-=．
∴S△EBC=S△ABC=．
如图2，记⊙E与BC相切于点M，连接EM，则EM⊥BC，设⊙E的半径为r．
在Rt△BOC中，BC==．
∵S△EBC=BC•EM，
∴×r=，
∴r==．
∴所求⊙E的面积为：π（）2=π．