Question

如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．
（1）求证：ME=MF．
（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明．
（3）如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理
（4）根据前面的探索和图4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由．

Answer

（1）过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，首先证明M是正方形ABCD对角线的交点，然后证明△MHF≌△MGE，利用全等三角形的性质得到ME=MF；
（2）ME=MF．过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，由M是菱形ABCD的对称中心和菱形的性质得到 AM平分∠BAD，然后利用已知条件证明△MHF≌△MGE，最后利用全等三角形的性质得到ME=MF；
（3）ME=mMF．过点M作ME⊥AB于E，MG⊥AD于G，利用矩形ABCD性质和已知条件证明∠HMF=∠GME，∠MGE=∠MHF，得出△MGE∽△MHF，然后利用相似三角形的性质即可求解；
（4）平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，∠M=∠B，AB=mBD，由于M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AB于F，AD交QM于E．则ME=mMF．证明方法和（1）（2）（3）方法一样．
证明：（1）过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，
∵M是正方形ABCD的对称中心，
∴M是正方形ABCD对角线的交点，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG
在正方形ABCD中，∠A=90°，
∵∠MHA=∠MGA=90°
∴∠HMG=90°，
在正方形QMNP，∠EMF=90°，
∴∠EMF=∠HMG．
∴∠FMH=∠EMG，
∵∠MHF=∠MGE．
∴△MHF≌△MGE，
∴MF=ME．（3分）

（2）ME=MF．证明：过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，
∵M是菱形ABCD的对称中心，
∴M是菱形ABCD对角线的交点，∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG，
∵BC∥AD，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠QMN=∠B，
∴∠QMN+∠BAD=180°
又∵∠MHA=∠MGA=90°，在四边形HMGA中，∠HMG+∠BAD=180°，
∴∠EMF=∠HMG．
∴∠FMH=∠EMG，
∵∠MHF=∠MGE，
∴△MHF≌△MGE，
∴ME=MF．（6分）

（3）MF=mME．
证明：过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，
在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，
∴∠EMF=∠B=90°，
又∵∠MGA=∠MGE=90°，在四边形GMHA中，
∴∠GMH=90°，
∴∠EMG+∠GMF=∠GMF+∠HMF，
∴∠HMF=∠GME，
∵∠MGE=∠MHF，
∴△MGE∽△MHF，
∴==，
又∵M是矩形ABCD的对称中心，
∴M是矩形ABCD对角线的中点
∴MG∥BC，
∴MG=BC．同理可得MH=CD，
∵AB=mBC，
∴MF=mME．（9分）

（4）平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，∠M=∠B，AB=mBC，M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AD于F，AB交QM于E．则MF=mME．（10分）