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已知:如图,△ABC中,AB=3,∠BAC=120°,AC=1,D为AB延长线上...

已知:如图,△ABC中,AB=3,∠BAC=120°,AC=1,D为AB延长线上一点,BD=1,点P在∠BAC的平分线上,且满足△PAD是等边三角形.
(1)求证:BC=BP;
(2)求点C到BP的距离.

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(1)连接PC.根据SAS证明△PAC≌△PDB,得PC=PB,∠2=∠3,再根据有一个角是60°的等腰三角形证明等边三角形即可; (2)作CE⊥PB于E,PF⊥AB于F.根据等边三角形APD求得PF和BF的长,再根据勾股定理求得BP的长,即为BC的长,从而求得等边三角形的一边上的高CE的长. (1)证明:如图,连接PC. ∵AC=1,BD=1, ∴AC=BD. ∵∠BAC=120°,AP平分∠BAC, ∴∠1=∠BAC=60°. ∵△PAD是等边三角形, ∴PA=PD,∠D=60°. ∴∠1=∠D. ∴△PAC≌△PDB. ∴PC=PB,∠2=∠3. ∴∠2+∠4=∠3+∠4,∠BPC=∠DPA=60°. ∴△PBC是等边三角形,BC=BP. (2)【解析】 如图,作CE⊥PB于E,PF⊥AB于F. ∵AB=3,BD=1, ∴AD=4. ∴△PAD是等边三角形,PF⊥AB, ∴DF=AD=2,PF=PD•sin60°=. ∴BF=DF-BD=1, ∴BP=. ∴CE=BC•sin60°=BP•sin60°=×=. 即点C至BP的距离等于.
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考点分析:
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已知:如图,△ABC中,AB=2,BC=4,D为BC边上一点,BD=1.
(1)求证:△ABD∽△CBA;
(2)若DE∥AB交AC于点E,请再写出另一个与△ABD相似的三角形,并直接写出DE的长.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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