Question

已知：抛物线y=-x²-2（a-1）x-（a²-2a）与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜1＜x₂．
（1）求A、B两点的坐标（用a表示）；
（2）设抛物线的顶点为C，求△ABC的面积；
（3）若a是整数，P为线段AB上的一个动点（P点与A、B两点不重合），在x轴上方作等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，求抛物线的解析式及线段PQ的长的取值范围．

Answer

（1）由于A、B两点是抛物线与x轴的交点，令抛物线的y=0，所得方程的根即为A、B的横坐标；
（2）根据A、B的坐标可求出AB的长，以AB为底，C点纵坐标的绝对值为高即可求出△ABC的面积；
（3）将x1、x2的表达式代入x1＜1＜x2中即可求出a的取值范围，结合a是整数的条件可求出a的值，由此可确定抛物线的解析式；求PQ的取值范围时，有两种解法；
①过C作CD⊥x轴于D，连接CQ；根据抛物线的解析式，易求得点C的坐标，即可得到AD、CD的长，由此可求出∠BAC=60°，根据抛物线的对称性即可得到∠ABC=∠BAC=60°，由此可知△ABC是等边三角形，而△AMP、△BNP也是等边三角形，那么M、N分别在线段OC和线段BC上；易知CM∥PN，MP∥BC，则四边形PNCM是平行四边形，而Q是MN的中点，则Q也是CP的中点，即C、Q、P三点共线，由此可得PC=2PQ；在等边三角形ABC中，P在线段AB上运动，且不与A、B重合，因此PQ的取值范围应该在AD和AC长之间，可据此求出PQ的取值范围；
②分别过M、N作x轴的垂线，设垂足为M1、N1，可设出P点的坐标，进而可表示出AM1、MM1以及BN1、NN1的长，即可求出M、N的坐标，由于Q是MN的中点，根据M、N的坐标即可求出Q点的坐标，进而可求出PQ的长，由于P在A、B间运动，因此P点横坐标的取值范围为0～2，可据此求出PQ的取值范围．
【解析】
（1）∵拋物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1、x2是关于x的方程-的解；
方程可化简为x2+2（a-1）x+（a2-2a）=0；
解方程，得x=-a或x=-a+2；
∵x1＜x2，-a＜-a+2，（1分）
∴x1=-a，x2=-a+2
∴A、B两点的坐标分别为A（-a，0），B（-a+2，0）（2分）

（2）∵AB=2，顶点C的纵坐标为，（3分）
∴△ABC的面积等于；（4分）

（3）∵x1＜1＜x2，
∴-a＜1＜-a+2
∴-1＜a＜1；（5分）
∵a是整数，
∴a=0，
即所求拋物线的解析式为y=-x2+2x；（6分）
解法一：此时顶点C的坐标为C（1，）如图，作CD⊥AB于D，连接CQ，
则AD=1，CD=，tan∠BAC=，
∴∠BAC=60°
由拋物线的对称性可知△ABC是等边三角形；
由△APM和△BPN是等边三角形，线段MN的中点为Q可得，
点M、N分别在AC和BC边上，四边形PMCN的平行四边形，
C、Q、P三点共线，且PQ=PC；（7分）
∵点P线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，
DC≤PC＜AC，DC=，AC=2，
∴≤PQ＜1；（8分）

解法二：设点P的坐标为P（x，0）（0＜x＜2）如图，作MM1⊥AB于M1，NN1⊥AB于N1
∵△APM和△BPN是等边三角形，且都在x轴上方，
∴AM=AP=x，BN=BP=2-x，∠MAP=60°，∠NBP=60°
∴AM1=AM•cos∠MAB=，
MM1=AM•sin∠MAB=，
BN1=BN•cos∠NBP=，
NN1=BN•sin∠NBP=
∴AN1=AB-BN1=
∴M、N两点的坐标分）别为M（，），N（，）
可得线段MN的中点Q的坐标为Q（，）
由勾股定理得PQ=（7分）
∵点P在线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，0＜x＜2，
∴3≤（x-1）2+3＜4，
∴≤PQ＜1．（8分）