Question

如图，已知反比例函数在第一象限内的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．
（1）用含m的代数式表示四边形ODBE的面积；
（2）若y关于x的函数y=（2m-1）x²-2（m+1）x+m+3的图象与x轴只有一个交点，求四边形ODBE的面积．

Answer

（1）首先设点B（a，b），可得点M，又由反比例函数在第一象限内的图象经过矩形OABC对角线的交点M，可得ab=4m，然后由S四边形ODBE=S矩形OABC-S△OAD-S△OCE，即可求得答案；
（2）分别从2m-1=0与2m-1≠0去分析求解即可求得答案．
【解析】
（1）设点B（a，b），则点M，
∵反比例函数在第一象限内的图象经过矩形OABC对角线的交点M，
∴，
∴ab=4m，
∴S四边形ODBE=S矩形OABC-S△OAD-S△OCE=4m-m-m=3m；

（2）①当2m-1=0时，得m=，
关于x的函数为一次函数：y=-3x+，
此时图象与x轴只有一个交点，且S四边形ODBE=3m=；
②当2m-1≠0时，关于x的函数为二次函数，
∵y关于x的函数y=（2m-1）x2-2（m+1）x+m+3的图象与x轴只有一个交点，
∴△=[-2（m+1）]2-4（2m-1）（m+3）=-4m2-12m+16=0，
解得：m=1或m=-4，
∵m＞0，
∴m=1，
∴此时S四边形ODBE=3m=3．
综上可得：四边形ODBE的面积为或3．