Question

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CAB=2∠CBF．
（1）试判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=6，BF=8，求tan∠CBF．

Answer

（1）连接AE．通过AB⊥BF，点B在⊙O上可以推知BF为⊙O的切线；
（2）作辅助线CG（过点C作CG⊥BF于点G）构建平行线AB∥CG．由“平行线截线段成比例”知===，从而求得FG的值；然后根据图形中相关线段间的和差关系求得直角三角形CBG的两直角边BG、CG的长度；最后由锐角三角函数的定义来求tan∠CBF的值．
【解析】
（1）BF为⊙O的切线．
证明：连接AE．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠BAE+∠ABE=90°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE；
∵∠CAB=2∠CBF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，即AB⊥BF，
∵OB是半径，
∴BF为⊙O的切线；

（2）过点C作CG⊥BF于点G．
在Rt△ABF中，AB=6，BF=8，
∴AC=10（勾股定理）；
又∵AC=AB=6
∴CF=4；
∵CG⊥BF，AB⊥BF，
∴CG∥AB，
∴===，（平行线截线段成比例），
∴FG=，
由勾股定理得：CG==，
∴BG=BF-FG=8-=，
在Rt△BCG中，tan∠CBF==．