Question

张师傅在铺地板时发现，用8块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图1．然后，他用这8块瓷砖又拼出一个正方形，如图2，中间恰好空出一个边长为1的小正方形（阴影部分），假设长方形的长y，宽为x，且y＞x．

（1）请你求出图1中y与x的函数关系式；
（2）求出图2中y与x的函数关系式；
（3）在图3中作出两个函数的图象，写出交点坐标，并解释交点坐标的实际意义；
（4）根据以上讨论完成下表，观察x与y的关系，回答：如果给你任意8个相同的长方形，你能否拼成类似图1和图2的图形？说出你的理由．

图（2）中小正方形边长	1	2	3	4	…
x	3	6	9	12	…
y	5	10	15	20	…

Answer

（1）根据图1中长与宽的等量关系列出方程，即可求出图1中y与x的函数关系式；
（2）根据长方形的面积×8+小正方形的面积=正方形的面积，列出方程即可得出；
（3）根据函数的解析式及图象性质作出它们的图象，得出交点坐标，并结合实际解释交点坐标的实际意义；
（4）由（1）可知长方形的长与宽若不能满足y=，则不能；长方形的长与宽只要满足y=，则能．
【解析】
（1）由图1得：3y=5x，（2分）

（2）由图2得8xy+1=（2x+y）2（3分）
整理得：（2x-y）2=1
2x-y=±1
∵∴
x=-3＜0
∴2x-y=-1不成立（4分）
∴2x-y=1
即y=2x-1 （5分）
（7分）

（3）交点坐标（3，5）（8分）
实际意义解答不唯一
例①：瓷砖的长为5，宽为3时，能围成图1，图2的图形（9分）
例②：当瓷砖长为5，宽为3时，围成图2的正方形中的小正方形边长为1．

 图（2）中小正方形边长  1  2  3  4 …
 x  3  6  9  12 …
 y  5  10  15  20 …

（11分）
（4）情况①：不能，长方形的长与宽若不能满足y=，则不能
情况②：能，长方形的长与宽只要满足y=即可
情况③：综合上述两种说法，只要符合其中一种情况均给分． （12分）