Question

如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，O是BC边上的中点，N是AB边上的点（不与端点重合），M是OB边上的点，且MN∥AO，延长CA与直线MN相交于点D，G点是AB延长线上的点，且BG=AN，连接MG，设AN=x，BM=y．
（1）求y关于x的函数关系式及其定义域；
（2）连接CN，当以DN为半径的⊙D和以MG为半径的⊙M外切时，求∠ACN的正切值；
（3）当△ADN与△MBG相似时，求AN的长．

Answer

（1）证△BMN∽△BOA，推出=，由勾股定理求出BC=3，BO=，根据AN=x，BM=y，代入求出即可；
（2）求出MG=MN，根据等腰三角形性质求出∠AND=∠G，∠DAN=∠MBG，根据AAS证△AND≌△BGM，推出DN=MG=MN，求出tan∠CAO==，根据平行线性质求出∠CAO=∠ACN，即可求出答案；
（3）分为两种情况：①若∠D=∠BMG时，过点G作GE⊥CB，垂足为点E，求出tan∠BMG==，根据∠ABC=∠GBE=∠BGE=45°，推出BM=BE，根据勾股定理得出y=x，与（1）得出关系式组成方程组，即可求出x；②若∠D=∠G时，过点M作MF⊥AB，垂足为点F，tan∠G=，求出x=y，同样得出方程组，求出x即可．
（1）【解析】
∵MN∥AO，
∴△BMN∽△BOA，
∴=，
∵∠C=90°，AC=BC，AB=6，
∴由勾股定理得：BC=3，
∵O是BC边上的中点，
∴BO=，
∵AN=x，BM=y，
∴=，
∴y=（0＜x＜6）；

（2）【解析】

∵以DN为半径的⊙D和以MG为半径的⊙M外切，
∴DN+MG=DM，又DN+MN=DM，
∴MG=MN，
∴∠MNG=∠G，
又∵∠MNG=∠AND，
∴∠AND=∠G，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠DAN=∠MBG，
又∵AN=BG，
∴△AND≌△BGM，
∴DN=MG=MN，
∵∠ACB=90°，
∴CN=DN，
∴∠ACN=∠D，
∵∠ACB=90°，AC=BC，O是BC边上的中点，
∴tan∠CAO==，
∵MN∥AO，
∴∠CAO=∠D，
∴∠CAO=∠ACN，
∴tan∠ACN=；

（3）【解析】
∵∠DAN=∠MBG，当△ADN与△MBG相似时，分为两种情况：
①若∠D=∠BMG时，过点G作GE⊥CB，垂足为点E，
tan∠BMG==，
∵∠ACB=90°，GE⊥BC，
∴AC∥GE，
∴∠BGE=∠CAB=45°，
∵∠ABC=∠GBE=45°，
∴∠ABC=∠GBE=∠BGE=45°，
∴BE=EG，
∴BM=BE，
∴由勾股定理得：y=x，
∵由（1）知：y=，
∴解得：x=2；
②若∠D=∠G时，过点M作MF⊥AB，垂足为点F，
∴tan∠G==，
∴FG=2MF，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠MBF=∠CAB=45°，
∵∠MFB=90°，
∴∠FMB=∠MBF=45°，
∴BF=MF，
∵FG=2MF=BF+BG，
∴BF=BG，
∴x=y，
由（1）知：y=，
∴解得：x=；
综上所述，当△ADN与△MBG相似时，AN的长为2或．