Question

如图，已知点C在⊙O上，延长直径AB到点P，连接PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AC=PC，且PB=3，M是⊙O下半圆弧的中点，求MA的长．

Answer

（1）由于OA=OC，那么∠OAC=∠OCA，则∠COB=2∠OCA，又∠COB=2∠PCB，可求∠OCA=∠PCB，而AB是直径，可知∠OCA+∠OCB=90°，从而有∠PCB+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，从而可证CP是⊙O切线；
（2）连接BM，由于M是弧AB中点，那么AM=BM，而∠AMB=90°，易知∠MAB=∠MBA=45°，而AC=CP，则∠P=∠CAO，又∠BCP=∠CAO，从而有∠P=∠BCP，即BC=BP=3，而∠CBO=2∠P，∠BOC=2∠CAO，于是∠BOC=∠CBO，而OB=OC，那么可证△BOC是等边三角形，从而有OB=BC=3，即AB=6，在Rt△AMB中，利用特殊三角函数值可求AM．
【解析】
（1）∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠COB=2∠OCA，
∵∠COB=2∠PCB，
∴∠OCA=∠PCB，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCO=90°，
∵点C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切线；

（2）连接BM．
∵M是⊙O下半圆弧中点，
∴弧AM=弧BM，
∴AM=BM，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠ABM=45°，
∵AC=PC，
∴∠OAC=∠P=∠OCA=∠PCB，
∴BC=BP，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=2∠PCB，
∵∠BOC=2∠CAO，
∴∠BOC=∠OBC=∠OCB，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵PB=3，
∴BC=3，
∴AB=6，
在Rt△ABM中，∠AMB=90°，AM=sin45°×AB=3．