Question

如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等．
（1）求∠EAF的度数；
（2）在图①中，连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，得到图②．求证：MN²=MB²+ND²；
（3）在图②中，若BE=4，DF=6，，求AG，MN的长．

Answer

（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定方法证明Rt△ABE≌Rt△AGE和Rt△ADF≌Rt△AGF，由全等三角形的性质即可求出；
（2）连接MH，由旋转知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，由旋转知：∠ABH=∠ADB=45°，HB=ND，所以∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，所以MH2=HB2+ND2，所以MN2=MB2+ND2；
（3）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，设AG=x，则CE=x-4，CF=x-6．因为CE2+CF2=EF2，所以（x-4）2+（x-6）2=102．解这个方程，求出x的值即可得到AG=12，在（2）中，MN2=MB2+ND2，MN=a，则，所以．即．
【解析】
（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE，
∴∠BAE=∠GAE．
同理，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴∠GAF=∠DAF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°
∴；
（2）证明：连接MH，
由旋转知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45°，
∴∠HAM=∠NAM，又AM=AM，
∴△AHM≌△ANM，
∴MN=MH
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠ABD=45°
由旋转知：∠ABH=∠ADB=45°，HB=ND，
∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，
∴MH2=HB2+ND2，
∴MN2=MB2+ND2；
（3）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴BE=EG=4，DF=FG=6，则EF=10
设AG=x，则CE=x-4，CF=x-6．
∵CE2+CF2=EF2，
∴（x-4）2+（x-6）2=102．
解这个方程，得x1=12，x2=-2（舍去）．
∴AG=12．（9分）
∴．
在（2）中，MN2=MB2+ND2
设MN=a，则．
∴．即．