Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E．
（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长．

Answer

（1）根据全等三角形的对应边相等知AP=AD=3；然后在Rt△ABP中利用勾股定理可以求得BP的长度；
（2）根据相似三角形Rt△ABP∽Rt△PCE的对应边成比例列出关于x、y的方程，通过二次函数的最值的求法来求y的最大值；
（3）如图，连接BD．利用（2）中的函数关系式设BP=x，则CE=，然后根据相似三角形△CPE∽△CBD的对应边成比例列出关于x的一元二次方程，通过解该方程即可求得此时BP的长度．
【解析】
（1）∵△APE≌△ADE（已知），AD=3（已知），
∴AP=AD=3（全等三角形的对应边相等）；
在Rt△ABP中，BP===（勾股定理）；

（2）∵AP⊥PE（已知），
∴∠APB+∠CPE=∠CPE+∠PEC=90°，
∴∠APB=∠PEC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE，
∴即（相似三角形的对应边成比例），
∴=
∴当x=时，y有最大值，最大值是；

（3）如图，连接BD．设BP=x，
∵PE∥BD，
∴△CPE∽△CBD，
∴（相似三角形的对应边成比例），
即
化简得，3x2-13x+12=0
解得，x1=，x2=3（不合题意，舍去），
∴当BP=时，PE∥BD．