Question

把两块完全一样的三角板如图1放置，其中∠BAO=∠CAO=30°，∠ABO=∠ACO=60°，B、O、C三点在同一条直线上，斜边AB=AC=6cm，动点P由B出发，沿折线B→A→C以每秒2cm的速度向C运动，同时动点Q从C出发以每秒cm的速度向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为t秒．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如图2，把△OCA绕点O逆时针旋转，旋转后得到△OC′A′，当∠COC′=∠CAO 时，求△OC′A′与△ABC重叠部分的面积；
（3）如图3，在△OCA绕点O逆时针旋转的过程中（0°＜旋转角＜180°），设A′O所在直线与BA所在直线交点为E，是否存在点E使得△OAE为等腰三角形？若存在，直接写出线段OE的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据三角形的面积公式S△BOQ=BP•BQ•sinB即可求解；
（2）可以证得△根据S重叠=S△OAB-S△OBE-S△ADF，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）分A是顶角顶点，则AE=OA，则E可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上，利用三角函数即可求得OE的长度；
当E是顶角的顶点时，AE=OE，在△AOE中，∠EAO=30°，则利用三角函数即可求得OE的长；
当O是顶角的顶点时，E在AB的延长线上，利用三角函数即可求得OE的长．
【解析】
（1）当0＜t≤3时，S=（6-t）×t=-t2+3t．
当3＜t＜2时，S=（6-t）•（12-2t）=t2-（3+9）t+18；
（2）S重叠=S△OAB-S△OBE-S△ADF=×3×3-×3×-××=；
（3）在直角△AOB中，OA=AB•cos∠BAO=6×=3，
1）当A是顶角顶点时，AE=OA=3，
分两种情况，当E在线段AB上时，OE==，
当E在射线BA上时，OE==；
2）当E是等腰三角形的顶角的顶点时，OE=AE===3；
3）当O是等腰三角形的顶角顶点时，此时E在线段AB的延长线上，OE=OA=3cm，
总之，存在点E，使得△OAE是等腰三角形，线段OE的长分别是：3或3或或．