Question

在▱ABCD中，∠A=∠DBC，过点D作DE=DF，且∠EDF=∠ABD，连接EF、EC，N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．
（1）如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；
（2）如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论．

Answer

（1）由在▱ABCD中，∠A=∠DBC，易证得△DBC是等腰三角形，又由△DEF是等腰三角形，利用三线合一的知识，可证得CD是EF的垂直平分线，然后由直角三角形的性质与三角形中位线的性质，证得结论；
（2）首先分别连接BE、CF；可证得△BDE≌△CDF，继而利用三角形的内角和定理与三角形的外角的性质，证得结论．
（1）答：NP=MN，∠ABD+∠MNP=180°；
证明：连接CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠BCD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠A=∠DBC，
∴∠DBC=∠BCD，∠EDF=∠ABD，
∴DB=DC，∠BDC=∠EDF，
∵P是BC的中点，
∴DP⊥BC，∠PDC=∠BDC，
∴∠PDC=∠EDF，
∵DE=DF，
∴DM⊥EF，EM=FM，
∴FC=EC，
∵EN=CN，
∴MN∥FC，MN=FC，
在Rt△ECP中，N是EC的中点，
∴NP=EC，
∴NP=MN；
∵NP=NC=CE，
∴∠NPC=∠NCP，
∴∠ENP=2∠NCP，
∵EC=FC，EM=FM，
∴∠ECF=2∠ECM，
∵MN∥FC，
∴∠ENM=∠ECF=2∠ECM，
∵∠EDF=2∠EDC，
∴∠ABD+∠MNP=∠EDF+∠ENP+∠ENM=2∠EDC+2∠ECP+2∠ECM=2（∠DEC+∠ECP+∠ECM）=2（∠EDC+∠PCD）=2×90°=180°．

（2）答：点M是线段EF的中点．
证明：如图，分别连接BE、CF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，∠A=∠DCB，
∴∠ABD=∠BDC．
∵∠A=∠DBC，
∴∠DBC=∠DCB．
∴DB=DC．①
∵∠EDF=∠ABD，
∴∠EDF=∠BDC．
∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC．
即∠BDE=∠CDF．②
又 DE=DF，③
由①②③得△BDE≌△CDF．
∴EB=FC，∠1=∠2．
∵N、P分别为EC、BC的中点，
∴NP∥EB，NP=．
同理可得 MN∥FC，MN=．
∴NP=NM．
∵NP∥EB，
∴∠NPC=∠4．
∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4．
∵MN∥FC，
∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1．
∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4=∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-∠ABD．
∴∠ABD+∠MNP=180°．