Question

两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中AB=2，AC=1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：
（1）如图1，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积；
（2）如图2，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．

Answer

（1）根据平移的性质，可得AD=BE，CF∥BD．所以三角形ACD的面积等于三角形BEF的面积，则梯形的面积就等于直角三角形ABC的面积；
（2）根据直角三角形一边上的中线等于斜边的一半，以及平移的性质可以证明该四边形的四条边相等，则该四边形是菱形．
【解析】
（1）根据平移的性质得到：AD=CF=BE．CF∥BD．
∴▱ACFD与▱BCFE的底边相等，且高相等，
∴S▱ACFD=S▱BCFE，
又∵CD与BF分别为两平行四边形的对角线，
∴S△ACD=S△FCD=S△CFB=S△EFB，
∴S△ACD=S△BEF．
∵在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，
∴∠ABC=30°，
∴BC==，
∴S梯形CDBF=S△ABC=×1×=；

（2）在直角三角形ABC中，AD=BD，则CD=BD，
根据平移的性质，得CF=BD，CD=BF，
∴CD=BD=CF=BF，
∴四边形CDBF是菱形．