Question

如图1，抛物线y=mx²-11mx+24m （m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．
（1）填空：OB=______，OC=______；
（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；
（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

Answer

（1）根据二次函数与x轴交点坐标求法，解一元二次方程即可得出；
（2）利用菱形性质得出AD⊥OC，进而得出△ACE∽△BAE，即可得出A点坐标，进而求出二次函数解析式；
（3）首先求出过C、D两点的坐标的直线CD的解析式，进而利用S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN求出即可．
【解析】
（1）∵抛物线y=mx2-11mx+24m （m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），
∴抛物线与x轴的交点坐标为：0=mx2-11mx+24m，
解得：x1=3，x2=8，
∴OB=3，OC=8 （4分）；

（2）连接AD，交OC于点E，
∵四边形OACD是菱形，
∴AD⊥OC，OE=EC=×8=4，
∴BE=4-3=1，
又∵∠BAC=90°，
∴△ACE∽△BAE，
∴=，
∴AE2=BE•CE=1×4，
∴AE=2，…（6分）
∴点A的坐标为 （4，2）…（7分）
把点A的坐标 （4，2）代入抛物线y=mx2-11mx+24m，得m=-，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x-12；       …（9分）

（3）连接AD，交OC于点E
∵直线x=n与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为 （n，-n2+n-12），
由（2）知，点D的坐标为（4，-2），
则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y=x-4，
∴点N的坐标为 （n，n-4），
∴MN=（-n2+n-12）-（n-4）=-n2+5n-8，…（11分）
∴S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN=MN•CE=（-n2+5n-8）×4
=-（n-5）2+9         （13分）
∴当n=5时，S四边形AMCN=9．       （14分）