Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A （-15，0），AB=25，AC=15，点C在第二象限，点P是y轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A逆时钟方向旋转．使边AO与AC重合．得到△ACD．
（1）求直线AC的解析式；
（2）当点P运动到点（0，5）时，求此时点D的坐标及DP的长；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，由于A，C两点都在第二象限，所以k＞0，即：k=tan∠A，将点A代入求出b的值即可；
（2）设点D（x，y）旋转后，CD=OP=5，∠DAC=∠D，根据三角形中∠ABC的正弦，余弦值可以求出x，y即可，由两点间的距离公式求出DP的长即可；
（3）根据题意设点P（0，a），分当a＞0时和当-＜a＜0，a＜-，列出等量关系求出满足条件a的值，若存在则求出点P的坐标即可．
【解析】
（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵点A （-15，0）且C点在第二象限，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴k＞0，即k=tan∠A====，
又∵直线AC过点A-15，0），
即：0=×（-15）+b，
∴b=20，
∴直线AC的解析式为：；

（2）点P运动到点（0，5）时，CD=OP=5，AD==5，
设D（x，y），
则x=-（OA-cos∠DAB×AD）=-（OA-cos∠D×AD）=-10；
y=sin∠DAB×AD=×AD=AC==15；
∴D（-10，15），；

（3）设P（0，a），则
当a＞0时，
解得：，（舍去）
当时，．
解得，a2=-5
当时，
解得（舍去），
∴存在点P，使△OPD的面积等于5，，P2（0，-5），，．