Question

Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不需要证明）

Answer

（1）首先由已知直线m∥AB，可推出∠ECD=∠ADC，再由DE⊥BC，得DE∥AC，推出∠EDC=∠ACD，CD为公共边，所以推出
△EDC≌△ADC，得证．
（2）首先由D是AB中点和（1）证得DE∥AC，得F为BC中点，即BF=CF，再由已知证△BFD≌△CFE，则DF=EF，已知DE⊥BC，所以BC和DE垂直且互相平分，故得四边形BECD是菱形．
（3）由四边形BECD是正方形可推出∠ABC=45°，即得∠A=45°．
（1）证明：∵直线m∥AB，
∴∠ECD=∠ADC，
又∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∴∠EDC=∠ACD，CD为公共边，
∴△EDC≌△ADC，
∴CE=AD；

（2）当D在AB中点时，四边形BECD是菱形．
证明：D是AB中点，DE∥AC（已证）
∴F为BC中点，即BF=CF，
∵直线m∥AB
∴∠ECF=∠DBF，∠BFD=∠CFE，
∴△BFD≌△CFE，
∴DF=EF，已知DE⊥BC，
所以BC和DE垂直且互相平分，
故四边形BECD是菱形．

（3）当∠A的大小是45°时，四边形BECD是正方形．