Question

已知：如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，CD=12，AD=5，点M沿着DA方向从D向A运动，速度是每秒1个单位，同时，点N沿着CD方向从C到D运动，速度是每秒2个单位，当其中一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动时间是x秒．
（1）几秒时MN∥BC？
（2）设△DMN的面积是y，请你写出y与x之间的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻，使多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的？如果存在，则求出此时x的值；如果不存在，请说明理由．
（4）如图（2），在两点移动过程中，以DN为对称轴将△DMN翻折，四边形DMNM′能否成为菱形？如果有可能，求出此时x的值；如果没有可能，请说明理由．

Answer

（1）设x秒时MN∥BC，过点A作AE∥BC交CD于E，由平行线、平行公理的推论及等腰梯形的性质得出∠D=∠MND，则MN=MD；再由MN∥AE，根据平行线分线段成比例定理得出MN：AE=DN：DE，求出MN=10-x；然后根据MN=MD列出关于x的方程，解方程即可；
（2）过点A作AF⊥CD于点F，过点M作MG⊥CD于点G，则MG∥AF．先由等腰梯形的性质求出DF=3，则在直角△ADF中，运用勾股定理得出AF=4，再由MG∥AF，根据平行线分线段成比例定理得出MG：AF=DM：AD，求出MG=x，然后根据三角形的面积公式即可得到求y与x之间的函数关系式；
（3）当多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的时，△DMN的面积是梯形ABCD面积的，由此列出方程，整理得出x2-6x+15=0，即可判断这样的时刻不存在；
（4）先由轴对称的性质得出DM′=DM，M′N=MN，再由（1）知，x=秒时MN=MD，根据四边相等的四边形是菱形得出x=秒时四边形DMNM′是菱形．
【解析】
（1）如图，设x秒时MN∥BC，此时DM=x，CN=2x．
过点A作AE∥BC交CD于E，则∠AED=∠C，
∵MN∥BC，∴MN∥AE，
∴∠MND=∠AED，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，
∴∠D=∠C，
∴∠D=∠MND，
∴MN=MD．
∵MN∥AE，
∴MN：AE=DN：DE，即MN：5=（12-2x）：6，
解得MN=10-x．
∵MN=MD，
∴10-x=x，
解得x=．
故秒时MN∥BC；

（2）如图，过点A作AF⊥CD于点F，过点M作MG⊥CD于点G，则MG∥AF．
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=6，CD=12，
∴DF=（CD-AB）=3．
在直角△ADF中，∠AFD=90°，AD=5，DF=3，
∴AF==4．
∵MG∥AF，
∴MG：AF=DM：AD，即MG：4=x：5，
∴MG=x，
∴y=DN•MG=×（12-2x）×x=-x2+x．
故所求y与x之间的函数关系式为y=-x2+x；

（3）不存在某一时刻，能够使多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的．理由如下：
∵△DMN的面积+多边形ABCNM的面积=梯形ABCD面积，
∴当多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的时，△DMN的面积是梯形ABCD面积的，
∴-x2+x=××（6+12）×4，
整理得x2-6x+15=0，
∵△=36-60=-24＜0，
∴x无解．
故不存在某一时刻，能够使多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的．

（4）在两点移动过程中，以DN为对称轴将△DMN翻折，四边形DMNM′能成为菱形．理由如下：
由轴对称的性质可知，DM′=DM，M′N=MN，
又由（1）知，x=秒时MN=MD，
∴x=秒时MN=MD=DM′=M′N，
∴x=秒时四边形DMNM′是菱形．