Question

如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：；
（2）设EF=x，矩形EFPQ的面积为y，求y与x函数关系式，并求y的最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式．

Answer

（1）可以证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应高的比相等即可证得；
（2）根据矩形的面积公式，可以把面积表示成关于EF的长的函数，根据函数的性质即可求解；
（3）分0≤t＜4，4≤t＜5，5≤t≤9三种情况进行讨论，分别求得函数的解析式．
证明：（1）∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ．（1分）
∴△AEF∽△ABC．（2分）
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF．（3分）
∴．（4分）

（2）由（1）得，
∵BC=10，AD=8，EF=x，
∴．
∴．（5分）
∴EQ=HD=AD-AH=8-．（6分）
∴y=EF×EQ=x（8-）==．（8分）
∵a=，
∴当x=5时，y的最大值为20．（9分）

（3）（12分）
附：第（3）小题详【解析】
由（2）得EF=5，EQ=4．
∵∠C=45°，
∴△PFC为等腰直角三角形．
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9．
分三种情况讨论：
1如图1，当0≤t＜4时，设EF、PF分别交AC于点M、N，
则△MFN为等腰直角三角形．
∴FN=MF=t．
∴；

②如图2，4≤t＜5时，则ME=5-t，QC=9-t，
∴；
③如图3，5≤t≤9时，设EQ与AC交于点K，
则KQ=QC=9-t．
∴．
综上所述，S与t的函数关系式为：