Question

在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA=，
（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；
（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．

Answer

（1）作DB垂直于BC，连DC，求出∠DBC=90°，∠A=∠D，根据sinA的值求出即可；
（2）连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，求出BF⊥AC，AF=CF，根据sinA求出BF/AB，求出AC，根据三角形的面积公式得出5×R+5×R+6×R=6×4，求出R，在△AIF中，由勾股定理求出AI即可．
（1）【解析】
作DB垂直于BC，连DC，
∵∠DBC=90°，∴DC为直径”
∴∠A=∠D，
∵BC=5，sinA=，
∴sinD==，
∴CD=，
答：三角形ABC外接圆的直径是．

（2）【解析】
连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过点I作IG⊥BC于点G，过I作IE⊥AB于E，
∵AB=BC=5，I为△ABC内心，
∴BF⊥AC，AF=CF，
∵sinA==，
∴BF=4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=3，
AC=2AF=6，
∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，
∴IE=IF=IG，
设IE=IF=IG=R，
∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，
∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF，
即5×R+5×R+6×R=6×4×，
∴R=，
在△AIF中，AF=3，IF=，由勾股定理得：AI=．
答：AI的长是．