Question

如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．
（1）猜想：ME与MF的数量关系；
（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M=∠B，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB：BC=1：2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由；
（4）如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M=∠B，AB：BC=m，其它条件不变，求出ME：MF的值．（直接写出答案）

Answer

本题是变式拓展题，正方形，菱形的共同特点是：其对称中心到各边的距离相等，可考虑作两边的垂线，构造全等三角形，再对应三角形全等条件求解．而矩形的对称中心到两边距离之比等于其边长之比，方法类似，用相似三角形来解．
【解析】
（1）ME=MF．

（2）ME=MF．
证明：过点M作MH⊥AD于H，MG⊥AB于G，连接AM．

∵M是菱形ABCD的对称中心，
∴O是菱形ABCD对角线的交点，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG．
∵∠M=∠B
，∴∠M+∠BAD=180°．
又∠MHA=∠MGF=90°，
∴∠HMG+∠BAD=180°．
∴∠EMF=∠HMG．
∴∠EMH=∠FMG．
∵∠MHE=∠MGF，
∴△MHE≌△MGF，
∴ME=MF．
（3）ME：MF=1：2
证明：过点M作MH⊥AD于H，MG⊥AB于G．

∵∠M=∠B，∴∠A=∠EMF=90°．
又∵∠MHA=∠MGA=90°，
∴∠HMG=90°．
∴∠EMF=∠HMG，∴∠EMH=∠FMG．
∵∠MHE=∠MGF，
∴△MHE∽△MGF，
∴=．
又∵M是矩形ABCD的对称中心，
∴M是矩形ABCD对角线的中点．
又∵MG⊥AB，
∴MG∥BC，
∴MG=BC．
同理可得MH=AB．
∴ME：MF=1：2．

（4）ME：MF=m．