Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，-2），tan∠BOC=．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上有一点E（O点除外），使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标．

Answer

（1）过B点作BD⊥x轴，垂足为D，由B（n，-2）得BD=2，由tan∠BOC=，解直角三角形求OD，确定B点坐标，得出反比例函数关系式，再由A、B两点横坐标与纵坐标的积相等求n的值，由“两点法”求直线AB的解析式；
（2）点E为x轴上的点，要使得△BCE与△BCO的面积相等，只需要CE=CO即可，根据直线AB解析式求CO，再确定E点坐标．
【解析】
（1）过B点作BD⊥x轴，垂足为D，
∵B（n，-2），
∴BD=2，
在Rt△OBD中，tan∠BOC=，即=，
解得OD=5，
又∵B点在第三象限，
∴B（-5，-2），
将B（-5，-2）代入y=中，得k=xy=10，
∴反比例函数解析式为y=，
将A（2，m）代入y=中，得m=5，
∴A（2，5），
将A（2，5），B（-5，-2）代入y=ax+b中，
得，
解得．
则一次函数解析式为y=x+3；

（2）由y=x+3得C（-3，0），即OC=3，
∵S△BCE=S△BCO，
∴CE=OC=3，
∴OE=6，即E（-6，0）．