Question

如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点．连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）求证：△APE∽△ADQ；
（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S_△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S_△PEF取得最大值，最大值为多少？
（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）

Answer

（1）根据PE∥QD得出的同位角相等即可证得两三角形相似．
（2）由于PE∥DQ，PF∥AQ，因此四边形PEQF是平行四边形，根据平行四边形的性质可知：S△PEF=S平行四边形PEQF，可先求出△AQD的面积，然后根据△AEP与△ADQ相似，用相似比的平方即面积比求出△APE的面积，同理可求出△DPF的面积，进而可求出平行四边形PEQF的面积表达式，也就能得出关于S，x的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值即对于的x的值．
（3）△ADQ中，AD长为定值，因此要使△ADQ的周长最小，AQ+QD需最小，可根据轴对称图形的性质和两点间线段最短为依据来确定Q点的位置．
（1）证明：∵PE∥DQ
∴△APE∽△ADQ；

（2）【解析】
同（1）可证△APE∽△ADQ与△PDF∽△ADQ，及S△PEF=S平行四边形PEQF，
根据相似三角形的面积之比等于相似比得平方，
∴=，=，
∵S△AQD=AD×AB=×3×2=3，
得S△PEF=S平行四边形PEQF
=（S△AQD-S△AEP-S△DFP）
=×[3-×3-×3]
=（-x2+2x）
=-x2+x
=-（x-）2+．
∴当x=，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值．

（3）【解析】
作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点．