Question

如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E在AB上，F，N在半圆上，若AB=10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是（ ）

A．25
B．50
C．30-π
D．50-2π

Answer

因为点C、D、E在AB上，点F、N在半圆上，若正方形CDMN大于正方形DEFG，则必有C、D两点分布于圆心O两侧，点D、E在圆心O同侧，且ON、OF是半径，即ON=OF=5，设正方形CDMN和DEFG的边长分别为a和b，假定a＜b，设线段OD的长度为c，在直角三角形中，根据勾股定理求出a、b和c之间的关系，最后恰能求出a2+b2的值．
【解析】
设正方形CDMN和DEFG的边长分别为a和b，假定a＜b，设线段OD的长度为c，
在直角三角形OCN中，OC2+CN2=ON2，
在直角三角形OEF中，OE2+EF2=OF2，
OC=CD+OD=a+c，CN=a，ON=5；
OE=DE-OD=b-c，EF=b，OF=5．
代入上式有（a+c）2+a2=25①；
（b-c）2+b2=25②
①-②化简得（a+c）2+a2-（b-c）2-b2=0，
则[（a+c）2-（b-c）2]+（a2-b2）=0
则（a-b+2c）（a+b）+（a+b）（a-b）=0，
∴2（a+b）（a-b+c）=0，因为a+b＞0，
所以a-b+c=0，即b=a+c（可由此证得直角△OCN和直角△OEF全等）
把a+c=b，代入①可以得到：a2+b2=25，即面积之和为25．
故选A．