Question

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．

（1）如图①，当PA的长度等于______

Answer

（1）由AB是直径，可得∠APB=90°，然后利用三角函数即可求得PA的长；当PA=PB时，△PAB是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案．
（2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，则PG⊥BC，P点坐标为（a，b），PE=b，PF=a，PG=4-a，利用矩形的面积关系与二次函数的知识即可求得答案．
【解析】
（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
则在Rt△PAB中，PA=AB=2，
∴当PA的长度等于2时，∠PAD=60°；

若△PAD是等腰三角形，当PA=PD时，
此时P位于四边形ABCD的中心，
过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
则四边形EAMP是正方形，
∴PM=PE=AB=2，
∵PM2=AM•BM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2，
当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．
连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，
则△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，
∴AG=2OG，
设AG为2x，OG为x，
∴（2x）2+x2=4，
∴x=
∴AG=2x=，
∴AP=
∴当PA的长度等于2或时，△PAD是等腰三角形；

（2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，
则PG⊥BC，
∵P点坐标为（a，b），
∴PE=b，PF=a，PG=4-a，
在△PAD，△PAB及△PBC中，
S1=2a，S2=2b，S3=8-2a，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴PE2=AE•BE，
即b2=a（4-a），
∴2S1S3-S22=4a（8-2a）-4b2=-4a2+16a=-4（a-2）2+16，
∴当a=2时，b=2，2S1S3-S22有最大值16．