Question

正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，Q为CD上任意一点，AQ交BD于M，过M作MN⊥AM交BC于N，连AN、QN．下列结论：
①MA=MN；②∠AQD=∠AQN；③S_△AQN=S_{五边形ABNQD}；④QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线．
其中正确的结论有（ ）

A．①②③④
B．只有①③④
C．只有②③④
D．只有①②

Answer

延长CD到F，使DF=BN，连接AF，过A作AH⊥NQ于H，证A B N M四点共圆，推出∠ANM=∠NAM即可判断①；证△ABN≌△ADF，推出AF=AN，∠FAD=∠BAN，证△NAQ≌△FAQ，
推出∠AQN=∠AQD即可判断②；证△ADQ≌△AHQ，即可推出③；根据AH=AD=AB，AH⊥NQ，即可判断④．
【解析】

延长CD到F，使DF=BN，连接AF，过A作AH⊥NQ于H，
∵正方形ABCD，NM⊥AQ，
∴∠AMN=∠ABC=90°，
∴A B N M四点共圆，
∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，
∴∠ANM=∠NAM=45°，
∴MA=MN，∴①正确；
∵正方形ABCD，
∴∠ABN=∠ADF=90°，AD=AB，
在△ABN和△ADF中
∵，
∴△ABN≌△ADF，
∴∠FAD=∠BAN，AF=AN，
∵∠NAM=∠BAC=45°，
∴∠FAQ=∠FAD+∠DAQ=45°=∠NAQ，
在△NAQ和△FAQ中
∵，
∴△NAQ≌△FAQ，
∴∠AQN=∠AQD，∴②正确；
在△ADQ和△AHQ中
∵，
∴△ADQ≌△AHQ，
∴S△ADQ=S△AQH，
∴S△NAQ=S△FAQ=S△FAD+S△ADQ=S五边形ABNQD，
∴③正确；
∵AH=AD=AB，AH⊥NQ，
∴QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线，
∴④正确．
故选A．