Question

如图1，在直角坐标系中，已知△AOC的两个顶点坐标分别为A（2，0），C（0，2）．

（1）请你以AC的中点为对称中心，画出△AOC的中心对称图形△ABC，此图与原图组成的四边形OABC的形状是______，请说明理由；
（2）如图2，已知D（，0），过A，C，D的抛物线与（1）所得的四边形OABC的边BC交于点E，求抛物线的解析式及点E的坐标；
（3）在问题（2）的图形中，一动点P由抛物线上的点A开始，沿四边形OABC的边从A-B-C向终点C运动，连接OP交AC于N，若P运动所经过的路程为x，试问：当x为何值时，△AON为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？

Answer

（1）按照中心对称图形的定义作图即可，易知四边形OABC为正方形；
（2）已知A、C、D三点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；由直线BC：y=2，代入抛物线解析式解方程求得点E的坐标；
（3）在点P的运动过程中，△AON为等腰三角形的情形有三种，注意不要漏解．充分利用正方形、等腰三角形的性质，容易求得点P运动的路程x．
【解析】
（1）设AC的中点为E，连接OE并延长至B，使得BE=OE；连接AC，AB，则△ABC为所求作的△AOC的中心对称图形．
∵A（2，0），C（0，2），∴OA=OC，
∵△ABC是△AOC的中心对称图形，∴AB=OC，BC=OA，
∴OA=AB=BC=OC，
∵∠COA=90°，
∴四边形OABC是正方形；

（2）设经过点A、C、D的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∵A（2，0），C（0，2），D（，0），
∴，解得a=-2，b=3，c=2，
∴抛物线的解析式为：y=-2x2+3x+2；
由（1）知，四边形OABC为正方形，∴B（2，2），
∴直线BC的解析式为y=2，
令y=-2x2+3x+2=2，解得x1=0，x2=，
∴点E的坐标为（，2）．

（3）在点P的运动过程中，有三种情形使得△AON为等腰三角形，
如图②所示：
①△AON1．此时点P与点B重合，点N1是正方形OABC对角线的交点，且△AON1为等腰直角三角形，
则此时点P运动路程为：x=AB=2；
②△AON2．此时点P位于B-C段上．
∵正方形OABC，OA=2，∴AC=2，
∵AN2=OA=2，∴CN2=AC-AN2=2-2．
∵AN2=OA，∴∠AON2=∠AN2O，
∵BC∥OA，∴∠AON2=∠CP2N2，又∠AN2O=∠CN2P2，
∴∠CN2P2=∠CP2N2，
∴CP2=CN2=2-2．
此时点P运动的路程为：x=AB+BC-CP2=2+2-（2-2）=6-2；
③△AON3．此时点P到达终点C，P、C、N三点重合，△AON3为等腰直角三角形，
此时点P运动的路程为：x=AB+BC=2+2=4．
综上所述，当x=2，x=6-2或x=4时，△AON为等腰三角形．