Question

如图所示，已知⊙O的直径AB=1，延长AB到C，使BC=AB，过C作⊙O的切线CD，D为切点，连接AD、BD．求：
（1）CD的长；
（2）AD：BD的值；
（3）△ABD的面积．

Answer

（1）连结OD，根据切线的性质得OD⊥DC，由于BC=AB=1得到OD=，OC=，然后根据勾股定理可计算出DC=；
（2）由AB为直径得到∠ADB=90°，则∠A+∠OBD=90°，又∠CDB+∠ODB=90°，而∠ODB=∠OBD，可得到∠CDB=∠A，根据三角形相似的判定方法得到△CDB∽△CAD，则DB：DA=CD：CA=：2，即可得到AD：BD的值；
（3）利用AD：BD的值可设DB=x，则AD=x，在Rt△ADB中，利用勾股定理得到（x）2+x2=1，解得x=，则DB=，AD=，然后根据三角形面积公式可计算出△ABD的面积．
【解析】
（1）连结OD，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OD⊥DC，
∵BC=AB=1，
∴OD=，OC=，
在Rt△ODC中，DC===；

（2）∵∠CDB+∠ODB=90°，
而∠ODB=∠OBD，
∴∠CDB+∠OBD=90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠OBD=90°，
∴∠CDB=∠A，
而∠C公共，
∴△CDB∽△CAD，
∴DB：DA=CD：CA=：2，
∴AD：BD=2：=：1；

（3）设DB=x，则AD=x，
在Rt△ADB中，AB=1，
∵AD2+DB2=AB2，
∴（x）2+x2=1，
解得x=，
∴DB=，AD=，
∴△ABD的面积=×DB×AD=××=．