Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，反比例函数图象经过点P，则k的值为    ．

Answer

连接BP，AP，利用勾股定理在Rt△ABO中求出AB2=BO2+OA2=4+16=20，再证明BP=PA，过P作PD⊥OA，在Rt△ABP中，首先求出OD=DP，再利用勾股定理求出DP的长，进而求出P点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数关系式中的k．
【解析】
连接BP，AP，
在Rt△ABO中，
AB2=BO2+OA2，
∵A、B两点的坐标分别为（4，0）、（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∴AB2=BO2+OA2=4+16=20，
∵∠AOP=45°，
∴∠PBA=45°，
∵∠BPA=90°，
∴∠PAB=45°，
∴BP=PA，
在Rt△ABP中，
AB2=BP2+PA2，
∴BP=AP=，
过P作PD⊥OA，
∵∠AOP=45°，
∴∠OPD=45°，
∴PD=OD，
设OD=DP=x，则AD=4-x，
在Rt△ADP中，
AP2=DP2+DA2，
∴10=x2+（4-x）2，
解得：x=1（不合题意，舍去）或3，
∴P（3，3）
∵反比例函数图象经过点P
∴k=3×3=9，
故答案为：9．