Question

如图，抛物线c₁：y=ax²-2ax-c与x轴交于A、B，且AB=6，与y轴交于C（0，-4 ）．
（1）求抛物线c₁的解析式；
（2）问抛物线c₁上是否存在P、Q（点P在点Q的上方）两点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求P、Q两点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）抛物线c₂与抛物线c₁关于x轴对称，直线x=m分别交c₁、c₂于D、E两点，直线x=n分别交c₁、c₂于M、N两点，若四边形DMNE为平行四边形，试判断m和n间的数量关系，并说明理由．

Answer

（1）把C（0，-4）代入抛物线的解析式求出c=4，得到y=ax2-2ax-4，根据AB=6，利用求根公式即可求出a的值，代入即可；
（2）有两种情况：①当∠PAC=∠ACQ=90°时，连接AQ，设Q（x，x2-x-4），由勾股定理得出AQ2=AC2+CQ2，代入求出x的值，求出x2-x-4=-，得到Q的坐标，同法可求P的坐标；②当∠ACQ=∠PQC=90°时，与①解法类似可求出Q的坐标和P的坐标，即可得出答案；
（3）m和n间的数量关系是m+n=0，且m≠0，n≠0．根据抛物线c2与抛物线c1关于x轴对称，得出两抛物线的形状相同，开口方向相反，且都关于x轴对称，根据平行四边形的形状得到DE∥MN，ED=MN，DE与 MN关于直线x=1对称，即可得到答案．
（1）【解析】
把C（0．-4）代入抛物线的解析式得：c=4，
∴y=ax2-2ax-4，
∵AB=6，
∴|-|=6，
解得：a=0（舍去），a=，
∴，
答：抛物线c1的解析式是y=x2-x-4．

（2）【解析】
∵当y=x2-x-4=0，x=4或-2，
∴OA=2，OB=4，
有两种情况：①当∠PAC=∠ACQ=90°时如图（1），连接AQ，设Q（x，x2-x-4），
由勾股定理得：AQ2=AC2+CQ2，
代入得：（x+2）2+=22+42+x2+，
解得：x=0（舍去），x=3，
当x=3 时，x2-x-4=-，
∴Q（3，），
同法可求P的坐标是（5，）；
②当∠ACQ=∠PQC=90°时如图（2），与①解法类似可求出Q的坐标是（3，-），P的坐标是（-5，）；
答：存在，P、Q的坐标分别为（5，），（3，）或（-5，），（3，）．

（3）答：m和n间的数量关系是m+n=0，且m≠0，n≠0．
理由是：∵抛物线c2与抛物线c1关于x轴对称，
∴两抛物线的形状相同，开口方向相反，且都关于x轴对称，
∵直线x=m分别交c1、c2于D、E两点，直线x=n分别交c1、c2于M、N两点，四边形DMNE为平行四边形，
∴直线m n垂直于x轴（m∥n），DE=MN，DE与 MN关于直线x=1对称，
∴m+n=2，m≠0，n≠0．