Question

如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN，
（1）求证：△ADN≌△CBM；
（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由；
（3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的长度．

Answer

（1）根据折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，从而根据AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM，从而即可判断出△ADN≌△CBM．
（2）连接NE、MF，根据（1）的结论可得出NF=ME，再由∠NFE=∠MEF可判断出NF∥ME，在直角三角形NFE中，NE为斜边，NF为直角边，可判断四边形MFNE不是菱形．
（3）设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，首先求出AC=5，根据翻折变换知：AF=CE=3，于是可得AF+（CE-EF）=5，可得EF=1，在Rt△CFN中，NF=tan∠NCF•CF，在Rt△NFE中，NO2=NF2+OF2，求出NO的长，即NM=PQ=QC=2NO，PC=2．
（1）证明：由折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠DAN=∠BCM，
在Rt△ADN和Rt△CBM中，
∵，
∴△ADN≌△CBM，

（2）【解析】
连接NE、MF，
∵△ADN≌△CBM，
∴NF=ME，
∵∠NFE=∠MEF，
∴NF∥ME，
∴四边形MFNE是平行四边形，
∵MN与EF不垂直，
∴四边形MFNE不是菱形；

（3）【解析】
设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5，
∵AF=CE=BC=3，
∴2AF-EF=AC，即6-x=5，
解得x=1，
∴EF=1，
∴CF=2，
在Rt△CFN中，tan∠DCA===，
解得NF=，
∵OE=OF=EF=，
∴在Rt△NFO中，ON2=OF2+NF2，
∴ON=，
∴MN=2ON=，
∵PQ∥MN，PN∥MQ，
∴四边形MQPN是平行四边形，
∴MN=PQ=，
∵PQ=CQ，
∴△PQC是等腰三角形，
∴PG=CG，
在Rt△QPG中，
PG2=PQ2-QG2，即PG==1，
∴PC=2PG=2．