Question

已知，如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，C是弧AB的中点，连接BC并延长与AD的延长线相交于点P，BE⊥DC，垂足为E，DF∥EB，交AB与点F，FH⊥BD，垂足为H，BC=4，CP=3．
求（1）BD和DH的长；（2）BE•BF的值．

Answer

（1）本题需先连接AC，由此可以得出AC=BC，可得出AP=5，再根据切割线定理可得PD•PA=PC•PB，再得出PD、AD的长，最后求出BD的长．再根据∠CDB是弧BC所对圆周角，求出∠CDB=45°得出∠BDF=45°，得出△BDA∽△BHF即可求出DH的长．
（2）根据第一题的得出，知道∠CDB=45°，∠E=90°得出∠DBE=45°再根据已知条件得出△FHB∽△CEB，分别求出
BE•BF=BC•BH即可求出结果．
【解析】
（1）连接AC，可知∠ACB=90°，AC=BC，
由勾股定理得AP=5
又∵由割线定理可得PD•PA=PC•PB，
∴PD=4.2，AD=0.8
∵∠ADB=90°，AB=4
∴BD=5.6
又∵∠CDB是弧BC所对圆周角，
∴∠CDB=45°，
∵BE⊥DC，DF∥EB，
∴DF⊥DE，即∠EDF=90°，
可得∠BDF=∠EDF-∠CDB=45°，
∴DH=HF
又由△BDA∽△BHF
∴=
∴DH=0.7

（2）∵∠CDB=45°，∠E=90°
∴∠DBE=45°
又∵∠ABC=45°，
∴∠FBH=∠CBE
又∠FHB=∠E=90°
∴△FHB∽△CEB
∴BE•BF=BC•BH
=4.9×4
=19.6