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如图,已知AB=AC,∠BAC=120°,在BC上取一点O,以O为圆心OB为半径...

如图,已知AB=AC,∠BAC=120°,在BC上取一点O,以O为圆心OB为半径作圆,且⊙O过A点,过A作AD∥BC交⊙O于D,
求证:(1)AC是⊙O的切线;
(2)四边形BOAD是菱形.

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(1)根据等腰三角形性质和技术性的内角和定理求出∠ABC和∠C的度数,求出∠BAO,求出∠OAC=90°,根据切线的判定求出即可; (2)连接AE,求出∠AEB的度数,根据平行线求出∠DAO,根据圆内接四边形性质求出∠D,根据四边形的内角和定理求出∠DAO,根据平行四边形的判定得出平行四边形BOAD,根据菱形的性质求出即可. (1)证明:∵AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠ABC=∠C=(180°-∠BAC)=30°, ∵OA=OB, ∴∠ABO=∠BAO=30°, ∴∠OAC=120°-30°=90°, 即OA⊥AC, ∵OA为⊙O的半径, ∴AC是⊙O的切线. (2)证明:连接AE, ∵∠AOB=∠C+∠OAC=30°+90°=120°, ∴由圆周角定理得:∠AEB=∠AOB=60°, ∵D、B、E、A四点共圆, ∴∠D+∠AEB=180°, ∴∠ADB=120°, ∵AD∥BC, ∴∠DAO+∠BOA=180°, ∴∠DAO=60°, ∴∠DBO=360°-60°-120°-120°=60°, 即∠D=∠BOA,∠DBO=∠DAO, ∴四边形BOAD是平行四边形, ∵OA=OB, ∴平行四边形BOAD是菱形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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