Question

一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．

Answer

（1）将点A、B的坐标代入y=kx+b并计算得k=-2，b=4．求出解析式为：y=-2x+4；
（2）设点C关于点O的对称点为C′，连接C′D交OB于P，则PC=PC′，PC+PD=PC′+PD=C′D，即PC+PD的最小值是C′D．连接CD，在Rt△DCC′中，由勾股定理求得C′D的值，由OP是△C′CD的中位线而求得点P的坐标．
【解析】
（1）将点A、B的坐标代入y=kx+b得：
0=2k+b，4=b，
∴k=-2，b=4，
∴解析式为：y=-2x+4；

（2）设点C关于点O的对称点为C′，连接C′D交OB于P′，连接P′C，则PC=PC′，
∴PC′+PD=PC′+PD=C′D，即PC+PD的最小值是C′D．
连接CD，在Rt△DCC′中，C′D==2，即PC′+PD的最小值为2，
∵OA、AB的中点分别为C、D，
∴CD是△OBA的中位线，
∴OP∥CD，CD=OB=2，
∵C′O=OC，
∴OP是△C′CD的中位线，
∴OP=CD=1，
∴点P的坐标为（0，1）．