Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．
（1）求证：∠AOC=2∠ACD；
（2）若AB=12，AD=2，求AC的长．

Answer

（1）首先连接BC，由AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，可得∠ACD+∠ACO=90°，∠BAC+∠B=90°，继而可证得∠AOC=2∠B=2∠ACD；
（2）易证得△ACD∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，可求得AC的长．
（1）证明：连接BC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AOC=2∠B=2∠ACD；

（2）【解析】
∵AD⊥CD，
∴∠ADC∠ACB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵AB=12，AD=2，
∴AC==2．