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如图,四边形ABCD中,AD不平行BC,现给出三个条件:①∠CAB=∠DBA,②...

如图,四边形ABCD中,AD不平行BC,现给出三个条件:①∠CAB=∠DBA,②AC=BD,③AD=BC.请你从上述三个条件中选择两个条件,使得加上这两个条件后能够推出ABCD是等腰梯形,并加以证明.(只需证明一种情况)

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有两种方法,第一种是:①∠CAB=∠DBA,②AC=BD;第二种是:②AC=BD,③AD=BC,均可利用等腰梯形的判定方法进行验证. 【解析】 第一种选择:①∠CAB=∠DBA,②AC=BD.(1分) 证明:∵∠CAB=∠DBA,AC=BD,AB=BA, ∴△ACB≌△BDA.(3分) ∴AD=BC,∠ABC=∠BAD.(4分) 作DE∥BC交AB于E,如图(1),则∠DEA=∠CBA, ∴∠DAE=∠DEA,AD=ED.(6分) ∴DE=BC, ∴四边形DCBE是平行四边形, ∴BE∥CD.即AB∥CD(8分) 又∵AD不平行BC, ∴ABCD是等腰梯形.(9分) 第二种选择:②AC=BD,③AD=BC.(1分) 证明:延长AD、BC相交于E,如图(2),(2分) ∵AC=BD,AD=BC,AB=BA, ∴△DAB≌△CBA.(3分) ∴∠DAB=∠CBA.(4分) ∴EA=EB.(5分) 又AD=BC, ∴DE=CE,∠EDC=∠ECD. 而,∠E+∠EAB+∠EBA=∠E+∠EDC+∠ECD, ∴∠EDC=∠EAB.(7分) ∴DC∥AB.(8分) 又∵AD不平行BC, ∴ABCD是等腰梯形.(9分) 说明:由①、③不能推出ABCD是等腰梯形,反例见图:
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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