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如图,某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C,景区管委会又开发了风...

如图,某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C,景区管委会又开发了风景优美的景点D,经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处,位于景点B的正北方向,还位于景点C的北偏西75°方向上,已知AB=5km.
(1)景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路,不考虑其它因素,求出这条公路的长;(结果精确到0.1km)
(2)求景点C与景点D之间的距离.(结果精确到1km)
(参考数据:manfen5.com 满分网=1.73,manfen5.com 满分网=2.24,sin53°=cos37°=0.80,sin37°=cos53°=0.60,tan53°=1.33,tan37°=0.75,sin38°=cos52°=0.62,sin52°=cos38°=0.79,tan38°=0.78,tan52°=1.28,sin75°=0.97,cos75°=0.26,tan75°=3.73.)

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过点D作DE⊥AC于点E,过点A作AF⊥DB,交DB的延长线于点F,求DE的问题就可以转化为求∠DBE的度数或三角函数值的问题.Rt△DCE中根据三角函数就可以求出CD的长. 【解析】 (1)如图,过点D作DE⊥AC于点E, 过点A作AF⊥DB,交DB的延长线于点F, 在Rt△DAF中,∠ADF=30°, ∴AF=AD=×8=4, ∴DF=, 在Rt△ABF中BF==3, ∴BD=DF-BF=4-3, sin∠ABF=, 在Rt△DBE中,sin∠DBE=, ∵∠ABF=∠DBE, ∴sin∠DBE=, ∴DE=BD•sin∠DBE=×(4-3)=≈3.1(km), ∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km; (2)由题意可知∠CDB=75°, 由(1)可知sin∠DBE==0.8,所以∠DBE=53°, ∴∠DCB=180°-75°-53°=52°, 在Rt△DCE中,sin∠DCE=, ∴DC=≈4(km), ∴景点C与景点D之间的距离约为4km.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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