Question

已知抛物线图象经过点A（3，0），顶点坐标（0，3）．
（1）写出抛物线的解析式．
（2）当y≤-1时，x的取值范围．
（3）在顶点与x轴的两交点的图象中，是否存在着一个以原点为圆心，半径为3的半圆在此图象内，请结合图象给于说明．（草图）

Answer

（1）设抛物线顶点式解析式为y=ax2+3，然后点A的坐标代入解析式求出a的值，从而得解；
（2）令y=-1，求出x的值，再根据二次函数的增减性写出x的取值范围；
（3）设抛物线在第一象限内任意一点P1（x1，y1），根据抛物线解析式用y1表示出x12，再写出圆心在原点半径为3的圆的解析式，消掉x得到关于y、y1的关系式，整理后根据x的取值范围求出y＞y1，从而得到不存在一个以原点为圆心，半径为3的半圆在此图象内．
【解析】
（1）∵抛物线的顶点坐标（0，3），
∴设抛物线顶点式解析式为y=ax2+3，
把点A（3，0）代入得，9a+3=0，
解得a=-．
所以，抛物线的解析式为y=-x2+3；

（2）当y=-1时，-x2+3=-1，
整理得，x2=12，
解得x1=-2，x2=2，
所以，y≤-1时，x的取值范围是x≤-2或x≥2；

（3）如图所示，设抛物线在第一象限内任意一点P1（x1，y1）与圆上的点P（x，y）重合，
令x1=x（0＜x1＜3），
由y1=-x12+3得，x12=9-y1，
由圆x2+y2=32得，x2=9-y2，
∴9-y2=9-y1，
y==•y1，
∵0＜y1＜3，
∴y＞y1，
即OP＞OP1，
∴除抛物线与y正半轴和x轴的交点在圆上外，其余部分都不存在着一个以原点为圆心，半径为3的半圆在此图象内．