Question

在平面直角坐标中，Rt△OAB的两顶点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点O是原点．其中点A（0，3），B（4，0），OC是Rt△OAB的高，点P以每秒1个单位长的速度在线段OB上由点O向点B运动（与端点不重合），过点P作PD⊥AP交AB于点D，设运动时间为t秒．
（1）若△AOE的面积为，求点E的坐标；
（2）求证：△AOE∽△PBD；
（3）△PBD能否是等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（4）当t=3时，直接写出此时的值．

Answer

（1）过点E作EF⊥OA于F，则EF是△OAE的高，易知OA的长，根据△OAE的面积即可求得EF的值，易证得△OEF∽△BAO，根据相似三角形所得比例线段即可求得OE的长，也就能得到E点的坐标．
（2）由于AP⊥PD，那么∠DPB和∠EAO同为∠APO的余角，则∠EAO=∠DPB，易证得∠AOE=∠PBD，由此可证得所求的三角形相似．
（3）由于△APD中，∠APD=90°，故∠ADP是锐角，∠BDP是钝角，若△BPD是等腰三角形，那么∠BDP必为顶角，即DP=BD；由于△AOE∽△PBD，那么△AOE也是等腰三角形，即OE=AE，根据等腰三角形三线合一的性质知：AF=FO=，仿照（1）的方法，可通过△OEF∽△BAO，求得EF的长，而△AEF∽△APO，根据相似三角形所得比例线段即可求得OP的长即t的值．
（4）当t=3时，OP=OA=3，则AP=3；由（2）证得△AOE∽△PBD，那么AE：PD=OA：PB，由于OA=3，PB=OB-OP=1，因此AE=3PD，可设PD=x，则AE=3x，易得△AEC∽△ADP，则有：，根据射影定理可在Rt△ABO中求出AC的长，利用勾股定理可求得EC的表达式，将它们代入上式比例式中，即可求得x的值，进而可得到EC、AE的长，有了AE、AP的长，即可得到AE：EP的值．
（1）【解析】
过点E作EF⊥OA于点F，
∵△AOE的面积为，OA=3，
∴EF=1；
∵∠EOF=∠ABO=90°-∠BOC，
∠EFO=∠AOB=90°，
∴△OEF∽△BAO，
，即，所以OF=，
∴点E的坐标为（1，）．

（2）证明：∵Rt△OAB中，OC为斜边AB边上的高，
∴∠EOA+∠OAC=90°，∠DBP+∠OAC=90°，
∴∠EOA=∠DBP，
∴∠EOA=∠DBP=90°-∠BOC，
∠AEO=∠PDB=90°+∠PAB，
∴△AOE∽△PBD．

（3）△PBD可以是等腰三角形，
∵∠PDB=90°+∠PAB＞90°，
∴如果△PBD是等腰三角形，∠PDB只能顶角，即DP=DB，
当△PDB是等腰三角形，∵△AOE∽△PBD，
∴△AOE是等腰三角形，且EA=EO；
过点E作EF⊥AO于点F，则AF=OF=；
∵△OEF∽△BAO，
∴，即，所以EF=，
∵△AFE∽△AOP，
∴，即，所以t=，
∴当△PBD是等腰三角形时，t=；

（4）当t=3时，．