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如图,已知正方形纸片ABCD的边长为8,⊙0的半径为2,圆心在正方形的中心上,将...

如图,已知正方形纸片ABCD的边长为8,⊙0的半径为2,圆心在正方形的中心上,将纸片按图示方式折叠,使E A′恰好与⊙0相切于点A′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分),延长FA′交CD边于点G,则A′G的长是   
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连AC,过F作FH⊥DC于H,根据折叠的性质得∠EA′F=∠EAF=90°,FA′=FA,由E A′恰好与⊙0相切于点A′,根据切线的性质得OA′⊥EA′,则点F、A′、O共线,即FG过圆心O;再根据正方形的性质得到AC经过点O,且OA=OC,易证得△OAF≌△OCG,则OF=OG,AF=CG,易得FA′=GN,设FA=x,DC=8,ON=2,则FA′=DH=CG=GN=x,FG=FA′+A′N+NG=2x+4,HG=DC-DH-CG=8-2x,在Rt△FGH中,利用勾股定理得到FG2=FH2+HG2,即(2x+4)2=82+(8-2x)2,解出x=,则可计算出A′G=A′N+NG=4+=. 【解析】 连AC,过F作FH⊥DC于H,如图. ∵△AEF沿EF折叠得到△A′EF, ∴∠EA′F=∠EAF=90°,FA′=FA, ∵E A′恰好与⊙0相切于点A′, ∴OA′⊥EA′, ∴点F、A′、O共线,即FG过圆心O, 又∵点O为正方形的中心, ∴AC经过点O, ∴OA=OC, 易证得△OAF≌△OCG, ∴OF=OG,AF=CG, ∵OA′=ON, ∴FA′=GN, 设FA=x,DC=8,ON=2,则FA′=DH=CG=GN=x,FG=FA′+A′N+NG=2x+4,HG=DC-DH-CG=8-2x, 在Rt△FGH中,FG2=FH2+HG2, ∴(2x+4)2=82+(8-2x)2,解得x=, ∴A′G=A′N+NG=4+=. 故答案为.
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考点分析:
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