Question

如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则新坐标（x₂-x₁，y₂-y₁）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．

Answer

（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值；
（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由线段比例关系求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；
②本问关键是求出点P、Q的坐标．当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2-x1，y2-y1），即可求解．
【解析】
（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，
∴AB===10．
如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10-3t．
∵PQ∥BO，
∴，即，
解得t=，
∴当t=秒时，PQ∥BO．

（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．
①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，
∴，即，解得PD=6-t．
S=AQ•PD=•2t•（6-t）=6t-t2=-（t-）2+5，
∴S与t之间的函数关系式为：S=-（t-）2+5（0＜t＜），
当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）．
②如图②所示，当S取最大值时，t=，
∴PD=6-t=3，
∴PD=BO，
又∵PD∥BO，
∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4，
∴P（4，3）．
又∵AQ=2t=，
∴OQ=OA-AQ=，∴Q（，0）．
依题意，“向量PQ”的坐标为（-4，0-3），即（，-3）．
∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，-3）．