Question

如图，圆G过坐标原点，交y轴于点A，交x轴于点B，点C为圆上一点，且OC平分∠AOB交AB于点F．CE⊥y轴于E交AB于点H，连接EG
（1）求证：△CBF∽△COB；
（2）请探究OE、AE和EG这三条线段之间的数量关系，写出你的结论并证明；
（3）若AH=6，HF=10，求OF的长度．

Answer

（1）由OC平分∠AOB，可求得=，∠AOC=∠COB=45°，又由圆周角定理，可得∠CBF=∠COB=45°，则可证得：△CBF∽△COB；
（2）首先在CE上截取CQ=AE，连接GC、GQ，EG，可证得△EAG≌△QCG，则可得△EGQ是等腰直角三角形，继而可得OE-AE=EG；
（3）易证得△FCH∽△FAC，然后设GH=x，可得GC=GA=6+x，GF=FH-GH=10-x，然后由在Rt△FGC中，CF2=GF2+GC2，可得方程，解此方程即可求得GH的长，继而求得FB的长，则可求得答案．
（1）证明：∵OC平分∠AOB，
∴=，∠AOC=∠COB=45°，
∴∠CBF=∠COB=45°，
∵∠OBC=∠BCF（公共角），
∴△CBF∽△COB；

（2）OE-AE=EG．
证明：在CE上截取CQ=AE，连接GC、GQ，EG．
∵=，
∴CG⊥AB，
∴∠GCQ=90°-∠GHC，
∵CE⊥y轴，
∴∠GAE=90°-∠AHE，
∵∠AHE=∠GHC，
∴∠GAE=∠GCQ，
在△EAG和△QCG中，
，
∴△EAG≌△QCG（SAS），
∴EG=GQ，∠AGE=∠CGQ，
∴∠EGQ=∠AGE+∠AGQ=∠AGQ+∠CGQ=90°，
∴EG⊥GQ，
∴△EGQ是等腰直角三角形，
∴EQ=EG，
又∵△OEC是等腰直角三角形，
∴OE=CE，
∵AE=QC，
∴OE-AE=CE-CQ=EQ=EG；
∴OE-AE=EG；

（3）∵∠BAC=∠COB=45°，△OEC是等腰直角三角形，
∴∠CAF=∠FCH=45°，
∵∠AFC=∠CFH（公共角），
∴△FCH∽△FAC，
∴FC2=FH•FA，
∵AH=6，HF=10，
∴FA=AH+FH=16，
∴FC=4，
设GH=x，GC=GA=6+x，
∴GF=FH-GH=10-x，
在Rt△FGC中，CF2=GF2+GC2，
∴（4）2=（10-x）2+（6+x）2，
解得：x=6，
∴FG=4，GA=12，FB=BG-GF=GA-GF=12-4=8，
∵OF•FC=FA•FB，
∴OF===．