Question

如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．
求证：四边形AEFG是菱形．

Answer

根据三角形内角和定理求出∠B=∠CAD，根据角平分线性质求出AE=EF，由勾股定理求出AC=CF，证△ACG≌△FCG，推出∠CAD=∠CFG，得出∠B=∠CFG，推出GF∥AB，AD∥EF，得出平行四边形，根据菱形的判定判断即可．
证明：证法一：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），
∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CE=CE，
∴由勾股定理得：AC=CF，
∵△ACG和△FCG中
，
∴△ACG≌△FCG，
∴∠CAD=∠CFG，
∵∠B=∠CAD，
∴∠B=∠CFG，
∴GF∥AB，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
即AG∥EF，AE∥GF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵AE=EF，
∴平行四边形AEFG是菱形．

证法二：∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，
∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF，
∵∠1=180°-90°-∠4，∠2=180°-90°-∠5，
∴∠1=∠2，
∵AD∥EF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AG=AE，
∵AE=EF，
∴AG=EF，
∵AG∥EF，
∴四边形AGFE是平行四边形，
∵AE=EF，
∴平行四边形AGFE是菱形．